マイクロマウスの横滑り角の考え方
マイクロマウスの横滑り角の考え方の種類を示します。
参考にした記事は，
です．
前提として，マイクロマウスは既に一定の速度で走行しており，駆動力は転がり抵抗と釣り合っているとして$F_x=0$とおきます。 ここでは簡単のために2輪マウスについて考えます．
1. 厳密なモデル
左右の車輪の横滑り角をそれぞれ$\beta_l$，$\beta_r$とします。これらは機体の横滑り角$\beta$とトレッド$d$を用いて，
$$ \beta_l = \text{tan}^{-1}\dfrac{V\text{sin}\beta}{V\text{cos}\beta-d\omega},\ \beta_r = \text{tan}^{-1}\dfrac{V\text{sin}\beta}{V\text{cos}\beta+d\omega} $$
と表せます。 コーナリングフォース$Y$は横力$C$を用いて
$$ Y_l = C_l\text{cos}\beta_l,\ Y_r = C_r\text{cos}\beta_r $$
となります。一定の速度で走行し，駆動力が転がり抵抗と釣り合っているような状況ではMagic Formulaを用いて
$$ C_l = K\ \text{sin}[F\text{tan}^{-1}[B\beta_l-E(B\beta_l-\text{tan}^{-1}(B\beta_l))]] $$
$$ C_r = K\ \text{sin}[F\text{tan}^{-1}[B\beta_r-E(B\beta_r-\text{tan}^{-1}(B\beta_r))]] $$
と表せます．$K$，$B$，$E$，$F$は係数です．
横滑り角の運動方程式は
$$
mV(\dot\beta + \omega) = -F_x\text{sin}\beta + F_y\text{cos}\beta
$$
であり，機体にかかる力は$F_x=0$，$F_y=Y_l\text{cos}\beta_l + Y_r\text{cos}\beta_r$であることを考慮すると
$$
mV(\dot\beta + \omega) = (Y_l\text{cos}\beta_l + Y_r\text{cos}\beta_r)\text{cos}\beta
$$
より
$$ \dot\beta = \dfrac{\text{cos}\beta}{mV}(Y_l\text{cos}\beta_l + Y_r\text{cos}\beta_r)-\omega $$
となります。
2. 各車輪の横滑り角を微小として近似したモデル
厳密なモデルでは，未知パラメータが多く，また計算も複雑になります。
そこで，$\beta$，$\beta_l$，$\beta_r$が微小であるとして近似します。
$$ \beta_l\approx\dfrac{V\beta}{V-d\omega},\ \beta_r\approx\dfrac{V\beta}{V+d\omega} $$
$$ Y_l\approx C_l,\ Y_r\approx C_r $$
$$ C_l\approx K\beta_l,\ C_r\approx K\beta_r $$
運動方程式を考えると，
$$ mV(\dot\beta + \omega) = F_y $$
より
$$ \dot\beta = \dfrac{2KV}{m(V^2-d^2\omega^2)}\beta-\omega $$
となります。
3. さらに簡略化したモデル
トレッドを$d=0$とすると，
$$ \dot\beta = \dfrac{2K}{mV}\beta-\omega $$ となり，簡単な微分方程式となります。$\frac{2K}{m}$はまとめて係数として実験しながら決めるケースがよく見られます。
4. 前後の時刻の横滑り角の影響を無視する方法
前後の時刻の横滑り角の影響を無視して，とりあえず現時刻の横滑り角を$V$と$\omega$から求める方法です。
$$ 0 = \dfrac{2K}{mV}\beta-\omega $$
より
$$ \beta = \dfrac{m}{2K}V\omega $$
となります。
